Geometri

          Permulaan Geometri

Pembentuk grafik geometri seperti titik kemudian menjadi garis dari garis bisa dibuat bentuk polygon, kurva, lingkaran. ketiga bentuk itu bila disatukan atau digabungkan dapat membuat bentuk 3D.

Pada awalnya geometri yang lahir dan berkembang di Mesir dan Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan bangunan yang kokoh dan besar. Teknik-teknik geometri yang berkembang pada masa itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif, akan tetapi cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan. Berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri saat itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada abad ke-9. Dalam Papirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegipanjang, segitiga siku-siku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas lingkaran.

Matematikawan yang pertama kali tidak puas terhadap metode yang didasari semata-mata pada pengalaman adalah Thales (640 – 546 SM). Sehingga masyarakat sekarang menghargai Thales sebagai orang yang selalu berkata ”Buktikan itu!” dan bahkan ia selalau melakukan pembuktian tersebut (Wakyudin, 2004: 137).

Sepeninggal Thales muncullah Pythagoras (582 – 507 SM) berikut pengikutnya yang dikenal dengan sebutan Pythagorean melanjutkan lengkah Thales. Para Pythagorean menggunakan metode pembuktian untuk membuktikan Teorema Pythagoras dan teorema-teorema jumlah sudut dalam suatu polygon, sifat-sifat dari garis-garis yang sejajar, teorema tentang jumlah-jumlah yang tidak dapat diperbandingkan, serta teorema tentang lima bangun padat beraturan.

Hasil kerja dan prinsip Thales telah menandai awal dari sebuah era kemajuan matematika yang mengembangkan pembuktian deduktif sebagai alasan logis yang dapat diterima. Pembuktian deduktif diperlukan untuk menurunkan teorema dari postulat dan selanjutnya untuk disusun pernyataan baru yang logis. Pengembangan pembuktian deduktif mencapai puncaknya dengan lahirnya buku karya Euclid yang diberi judul Element.

Element menjadi sebuah karya yang maha penting dalam sejarah masyarakat dunia yang kebanyakan dari pekerjaan itu bersifat oroginal, sebagai metode deduktif dengan mendemonstrasikan sebagaian besar pengetahuan yang diperlukan melalui penalaran. Teorema ke-5 dalam buku ini cukup dikenal, yaitu sudut alas dalam sebuah segitiga samakaki (isosceles) adalah kongruen. Metode yang sekarang lebih sering digunakan untuk membuktikan teorema ini memerlukan konstrukti suatu garis bagi sudut melalui titik sudutnya.

Dalam buku Element, Euclid menulis banyak pembuktian dari teori-teori yang sudah terkenal. Karya Euclid sangat berpengaruh sampai saat ini sehingga dalam geometri untuk garis, titik, bentuk, dan bidang-bidang namanya digunakan sebagai ”geometri Euclid”.

Demikian selanjutnya, selama lebih kurang empat abad terakhir Element telah mengalami kritikan dan pujian hingga lambat laun lebih disempurnakan. Hasil dari berbagai penyempurnaan itu lahirlah geometri analitik, geometri projektif, topologi, geometri non-Euclid, logika, dan kalkulus.

 
       Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Pada grafika komputer, sistem koordinat suatu objek dapat di transformasi. Transformasi ini memungkinkan terjadinya perpindahan posisi suatu objek tanpa harus membuat model objek yang baru. Jenis-jenis transformasi yang sering digunakan pada grafika komputer dibagi menjadi 3 macam, yaitu translasi, rotasi, dan skalasi.

A.    Translasi (Translation)

Translasi merupakan bentuk transformasi yang memindahkan posisi suatu objek, baik pada sumbu x, sumbu y, atau sumbu z. Fungsi yang digunakan untuk melakukan translasi adalah:

glTranslatef (Tx,Ty,Tz)

glTranslated (Tx,Ty,Tz)

Parameter Tx digunakan untuk menentukan arah dan seberapa jauh suatu benda akan dipindahkan berdasarkan sumbu x. Parameter Ty digunakan untuk menentukan arah dan seberapa jauh suatu benda akan dipindahkan berdasarkan sumbu y. Sedangkan parameter Tz digunakan untuk menentukan arah dan seberapa jauh suatu benda akan dipindahkan berdasarkan sumbu z (berlaku pada model 3D).

•      Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.

•      Contoh: Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’).

Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.

•      Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut harus bergeser sejauh h juga.

Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif

•      Penulisan  proses translasi titik A menjadi titik M, dan titik B menjadi titik N

 B.     Rotasi (Rotation)

Rotasi merupakan bentuk transformasi yang digunakan untuk memutar posisi suatu benda. Fungsi yang digunakan untuk melakukan rotasi ialah :

glRotatef (θ, Rx, Ry, Rz)

glRotated (θ, Rx, Ry, Rz)

Parameter yang dibutuhkan pada fungsi tersebut ada 4 macam, yaitu parameter θ untuk besar sudut putaran, parameter Rx untuk putaran berdasarkan sumbu x, parameter Ry untuk putaran berdasarkan sumbu y, dan parameter Rz untuk putaran berdasarkan sumbu z. Jika parameter θ bernilai postif, maka objek akan diputar berlawanan arah jarum jam. Sedangkan jika parameter θ bernilai negatif, maka objek akan diputar searah jarum jam.

C.    Skalasi (Scaling)

Skalasi merupakan bentuk transformasi yang dapat mengubah ukuran (besar-kecil) suatu objek. Fungsi yang digunakan untuk melakukan skalasi ialah:

glScalef (Sx, Sy, Sz)

glScaled (Sx, Sy, Sz)

Perubahan ukuran suatu objek diperoleh dengan mengalikan semua titik atau atau vertex pada objek dengan faktor skala pada masing-masing sumbu (parameter Sx untuk sumbu x, Sy untuk sumbu y, dan Sz untuk sumbu z).

•      Merupakan transformasi suatu titik atau sistem terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem berubah dengan perbandingan tertentu.

(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’ sebesar m kali titik P)

•      Dalam bentuk matrik dituliskan:

•      Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan tertentu terhadap acuan.

•      Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebab-kan perbesaran atau perkecilan suatu sistem.

•      Jika nilai k  (bilangan nyata):

Ø  k> 1     : hasil dilatasi diperbesar

Ø  -1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil

Ø  k = 1     : hasil dilatasi sama dengan aslinya

       Metode Dalam Penggunaan Transformasi Geometri 3D

Transformasi dapat diartikan sebagai suatu metode yang dapat digunakan untuk memanipulasi lokasi sebuah titik. Apabila transformasi dikenakan terhadap sekumpulan titik yang membentuk sebuah benda (obyek) maka benda tersebut akan mengalami perubahan. Perubahan dalam hal ini adalah perubahan dari lokasi awal suatu benda menuju lokasi yang baru dari benda tersebut.

    Penyajian dengan Menggunakan Polygon Surface

Polygon merupakan sebuah bangun datar yang memiliki banyak sudut. Polygon berguna untuk membangun berbagai jenis model 3D, biasanya digunakan dalam pengembangan efek 3D animasi dalam film, video game interaktif dan internet. Namun dalam permodelan tiga dimensi, polygon merujuk pada kumpulan dari segitiga – segitiga yang membentuk bangun datar lain atau bahkan bangun ruang yang kasar. Polygon yang lebih kompleks dapat membuat objek yang merupakan gambar berisi lurus terdiri (dari 3 atau lebih sisi), dinyatakan oleh poin tiga-dimensi (3D koordinat / vertices) dan garis-garis lurus yang menghubungkan sisinya (edges). Sekelompok polygon, terhubung satu sama lain dengan simpul bersama, umumnya disebut sebagai elemen. Setiap polygon yang membentuk elemen disebut wajah (face) atau permukaan yang merupakan daerah interior polygon. Polygon adalah kumpulan / komponen dari wajah atau permukaan tersebut yang terdiri dari Vertices, edges dan faces.

Mesh atau wireframe mesh atau wireframe (jala) adalah kumpulan kumpulan dari polygon yang tersusun dan terhubung sedemikian sehingga membentuk sebuah objek tiga dimensi. Permodelan polygon dalam grafik tiga dimensi merupakan sebuah cara yang sederhana. Dalam permodelan polygon ini, sebuah bangun ruang, atau objek tiga dimensi yang akan dibangun dapat dengan leluasa dibuat karena bagaimanapun juga, prinsip dari permodelan ini adalah menyusun sedemikian vertex dan tepi – tepi dengan bebas, tergantung dari pikiran si pembuat tersebut.

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, obyek dasar yang digunakan dalam pemodelan polygon ini adalah simpul (vertices), titik dalam ruang tiga dimensi. Dua simpul dihubungkan oleh sebuah garis lurus menjadi tepi (edge). Tiga simpul, terhubung satu sama lain dengan tiga tepi, mendefinisikan sebuah segitiga, yang merupakan polygon sederhana dalam ruang Euclidean.

Referensi:

almaududi22. (2013, 02). Retrieved from http://almaududi22.blogspot.com/2013/02/transformasi-geometri.html

ndikendi. (2012, 11). Retrieved from http://ndikendii.blogspot.com/2012/11/tugas-kuliah-presentasi-transformasi_7014.html

rendtladyrose. (2013, 02). Retrieved from http://rendtladyrose.blogspot.com/2013/02/transformasi-objek-3d_4.html

rezaciprulkun. (2013, 02). Retrieved from http://rezaciprulkun.blogspot.com/2013/02/design-permodelan-grafis-permodelan.html

wwwdarsonmate. (2010, 03). Retrieved from http://wwwdarsonmate.blogspot.com/2010/03/filasafat-geometri_31.html

 

-FEBISARFINA-